アキレスは、足の速いことで有名なギリシアの英雄。そのアキレスがカメを追い越そうとしている。
最初、カメはＡ地点にいた。アキレスは、あっという間にＡ地点に達する。もちろん、のろまなカメもじっと待ってはいない。アキレスがＡ地点に来るまでに、カメはＢ地点まで進んでいた。アキレスは、悠々とＢ地点まで走る。その間にカメは、短い足をバタバタ動かしてＣ地点に達する。余裕のアキレスはすぐにＣ地点にやってくる。しかし、追いつかれまいとするカメは、必死にＤ地点まで進む。次にアキレスがＤ地点にくるとカメはＥ地点・・・。
という具合に、アキレスがどんなに急いでも、カメのいた地点まで達したとき、カメはいくらかでも進んでいる。つまり、足の速いアキレスをもってしても、のろまなカメを追い越せないのだ！
さて、君は、反論できるだろうか？
問題を簡単にするため、アキレスの速度を2m/秒、亀の速度を１m/秒として、最初にアキレスと亀は、2m 離れているとします。明らかに、アキレスは亀に２分後に追いつきます。しかし、問題文のように考えると永遠にアキレスは亀に追いつくことができません。この論理が誤りであることは、みなさんが知っている通りです。
では、どこが誤っているのでしょうか。
それは「いつまでたっても、追いつくことができない」の「いつまでたっても」に問題があるのです。
アキレスが亀に追いつくためには、最初に亀がいた地点に到達する必要があります。それに要する時間は１分、その時点で亀は1m先にいるので、アキレスが亀に追いつくためには、さらに1/2分必要、その時点で亀は1/2m先にいるので、アキレスが亀に追いつくためには、さらに1/4分必要。このことを有限回であれば、何回繰り返しても、そのために要した時間は、２分よりも少なくなるのです。永遠に繰り返すとすると、1＋1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・・・だけの時間が必要になりますが、実は、1＋1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・・・＝2 なのです。 有限回繰り返しても、要する時間は2分より少ないので、何回繰り返しても、追いつくことができないというのは、常識的に考えた2分後に初めて追いつくことと矛盾するものではないのです。
また、波線部の式は、この動作を限りなく繰り返すと、2分後に、アキレスが亀に追いつくことを意味します。
この一見して、誤りだと分かるのに、誤りの理由が分からない文言を逆理（パラドックス）と言います。
この逆理は、ギリシア時代の哲学者であったゼノンという人が考えたものです。その当時はまだ、無限というものに対して、正しい考え方が確立していないので、永遠に数字を加えていけば、その和が、限りなく大きくなると誤って考えていたのです。 それ故に、「いつまでたっても、追いつくことができない」という誤謬に導かれたのです。
破線部は、高等学校数Ⅲに出てくる無限級数の和を使えば簡単ですが、まだ学んでいない人のために、直感的で簡単な説明をしておきます。 半径が2の円を考えます。その中心をＯとして、直径をＡＢとします。2点ＯＢの中点をＡ1、2点Ａ1Ｂの中点をＡ2、2点Ａ2Ｂの中点をＡ3、2点Ａ3Ｂの中点をＡ4 、以下同じようにして点列 Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4 Ａ5・・・・を定めます。点列の番号が限りなく大きくなれば、この点列は、限りなくＢに近づきます。よってＡＯ、ＯＡ1、Ａ1Ａ2、Ａ2Ａ3・・・・・・の和は、円の直径2となります。ＡＯ＝1、ＯＡ1＝1/2、Ａ1Ａ2＝1/4、Ａ2Ａ3＝1/8・・・・・・なので、1＋1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・・・＝2となるのです。
ＡＯ＝1、ＯＡ1＝1/2、Ａ1Ａ2＝1/4、Ａ2Ａ3＝1/8・・・・・・・・・
